Тема: Решение уравнений с параметрами. Тип: Реферат. Источники: 10 шт. В работе есть.

• Решение Параметров

1. При некоторых значениях параметра уравнение может не иметь решений. Когда корень уравнения выражается через параметр, важно следить за тем, при каких значениях параметра это выражение действительно является корнем. Все преобразования (при раскрытии корня, избавлении от логарифма.
2. При некоторых значениях параметра уравнение может не иметь решений. Когда корень.
3. Где a,b О R, x - переменная, называется уравнением первой степени (линейным уравнением).

., учитель математики Разделы: Справочный материал Уравнение вида f( x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром. Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению. Ах = 0.

Если а = 0, то 0 х = 0 х – любое действительное число. Если а 0, то х = х = 0 Пример 2. Ах = а. Если а = 0, то 0 х = 0 х – любое действительное число.

Если а 0, то х = х = 1 Пример 3. Х + 2 = ах х – ах = -2 х(1 – а) = -2 Если 1 – а = 0, т.е. А = 1, то х0 = -2 корней нет Если 1 – а 0, т.е. А 1, то х = Пример 4. ( а 2 – 1) х = 2 а 2 + а – 3 ( а – 1)( а + 1) х = 2( а – 1)( а – 1,5) ( а – 1)( а + 1) х = (1 а – 3)( а – 1) Если а = 1, то 0 х = 0 х – любое действительное число Если а = -1, то 0 х = -2 Корней нет Если а 1, а -1, то х = (единственное решение). Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х. Например: если а = 5, то х = =; если а = 0, то х = 3 и т.

Дидактический материал 1. Ах = х + 3 2. 4 + ах = 3 х – 1 3.

= Ответы:. При а 1 х =; при а = 1 корней нет. При а 3 х =; при а = 3 корней нет. При а 1, а -1, а 0 х =; при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1 при а = -1, а = 0 решений нет.

При а 2, а 0 х =; при а = 0, а = 2 решений нет. При а -3, а -2, а 0, 5 х = при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет. При а + с 0, с 0 х =; при а = - с, с = 0 решений нет. Квадратные уравнения с параметром Пример 1. Решить уравнение ( а – 1) х 2 = 2(2 а + 1) х + 4 а + 3 = 0 При а = 1 6 х + 7 = 0 х = – В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль. Д = (2(2 а + 1)) 2 – 4( а – 1)(4 а + 30 = 16 а 2 + 16 а + 4 – 4(4 а 2 + 3 а – 4 а – 3) = 16 а 2 + 16 а + 4 – 16 а 2 + 4 а + 12 = 20 а + 16 20 а + 16 = 0 20 а = -16 a = a = Если а -4/5 и а 1, то Д 0, х = Если а = 4/5, то Д = 0, х = – = – Пример 2.

При каких значениях параметра а уравнение х 2 + 2( а + 1) х + 9 а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня? Д = 4( а + 1) 2 – 4(9 а – 5) = 4 а 2 – 28 а + 24 = 4( а – 1)( а – 6) 4( а – 1)( а – 6) 0 по т. Виета: х 1 + х 2 = -2( а + 1) х 1 х 2 = 9 а – 5 По условию х 1 0 В итоге 4( а – 1)( а – 6) 0 - 2( а + 1) 0 а 6 а - 1 а 5/9 ( Рис. 1) 6 Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

Х 2 – 2( а – 1) х + 2 а + 1 = 0 Д = 4( а – 1) 2 – 4(2 а + 10 = 4 а 2 – 8 а + 4 – 8 а – 4 = 4 а 2 – 16 а 4 а 2 – 16 0 4 а( а – 4) 0 а( а – 4)) 0 а( а – 4) = 0 а = 0 или а – 4 = 0 а = 4 ( Рис. 2) Ответ: а 0 и а 4 Дидактический материал 1. При каком значении а уравнение ах 2 – ( а + 1) х + 2 а – 1 = 0 имеет один корень? При каком значении а уравнение ( а + 2) х 2 + 2( а + 2) х + 2 = 0 имеет один корень? При каких значениях а уравнение ( а 2 – 6 а + 8) х 2 + ( а 2 – 4) х + (10 – 3 а – а 2) = 0 имеет более двух корней? При каких значениях а уравнение 2 х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2 х 2 – 7 х + 6 = 0? При каких значениях а уравнения х 2 + ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

При а = - 1/7, а = 0, а = 1 2. При а = 10 5. При а = - 2 Показательные уравнения с параметром Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение 9 х – ( а + 2).3 х-1/х +2 а.3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х, получим равносильное уравнение 3 2(х+1/х) – ( а + 2).3 х+1/х + 2 а = 0 (2) Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – ( а + 2) у + 2 а = 0, или ( у – 2)( у – а) = 0, откуда у 1 =2, у 2 =. Если у = 2, т.е.

3 х+1/х = 2 то х + 1/ х = log 32, или х 2 – хlog 32 + 1 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 32 – 4 0, или log 3а 2. Если log 3а 2, то а 9, а если log 3а 9. При каких значениях а уравнение 2 2х – ( а – 3) 2 х – 3 а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – ( a – 3) t – 3 a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х 1 = -3, х 2 = а = а – положительное число. Ответ: при а 0 Дидактический материал 1. Найти все значения а, при которых уравнение 25 х – (2 а + 5).5 х-1/х + 10 а.

5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения. При каких значениях а уравнение 2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень? При каких значениях параметра а уравнение 4 х - (5 а-3)2 х +4 а 2 – 3 а = 0 имеет единственное решение? Ответ:. 0 25/2.

при а = 1, а = -2,2. 0 0, х 1/4 (3) х = у ау 2 – у + 1 = 0 (4) Если а = 0, то – 2 у + 1 = 0 2 у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4 Не выполняется (2) условие из (3). Пусть а 0, то ау 2 – 2 у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4 а 0, т.е. Если Д = 0 ( а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3). Пусть Д 0 ( а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков.

Решение Параметров

Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д 0 и 1/ а х Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство 2 – а 1 – а (3) Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 –. 3 Решения неравенства (3) образуют промежуток ( а 0; 2), где а 0.